Warum ist 7 die häufigste Summe bei zwei Würfeln?

Warum die Summe 7 heraussticht

Wenn du mit zwei sechsseitigen Würfeln spielst, könntest du annehmen, dass jede Summe gleich wahrscheinlich ist. Doch manche Summen lassen sich auf mehr Arten bilden als andere. Die 7 ist die häufigste Summe, weil sie sich aus sechs verschiedenen Würfelpaaren ergibt. Für die kleinste und die größte Summe gibt es jeweils nur eine Möglichkeit.

Dieser Unterschied ist wichtig, wenn du Wahrscheinlichkeiten erklärst, eine einfache Aktivität für den Unterricht planst oder herausfinden möchtest, ob sich die Regeln eines Spiels ausgewogen anfühlen. Entscheidend ist, die Würfelpaare zu zählen, nicht nur die möglichen Summen. Jeder Würfel kann einen Wert von 1 bis 6 zeigen, und die Würfel sind unterscheidbar: Eine 2 auf dem ersten und eine 5 auf dem zweiten Würfel ist ein anderes Ergebnis als eine 5 auf dem ersten und eine 2 auf dem zweiten.

Alle möglichen Paare zählen

Bei zwei sechsseitigen Würfeln lässt sich jedes Ergebnis des ersten Würfels mit jedem Ergebnis des zweiten kombinieren. Das ergibt insgesamt 36 gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Die Paare, die zusammen 4 ergeben, sind zum Beispiel (1, 3), (2, 2) und (3, 1). Für die Summe 10 sind es (4, 6), (5, 5) und (6, 4). Die Wahrscheinlichkeit einer Summe entspricht der Anzahl der passenden Paare geteilt durch 36.

Hier ist die vollständige Übersicht. Für die Summe 2 gibt es 1 Paar, also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/36. Für die Summe 3 gibt es 2 Paare, also 2/36. Für die Summe 4 gibt es 3 Paare, also 3/36. Für die Summe 5 gibt es 4 Paare, also 4/36. Für die Summe 6 gibt es 5 Paare, also 5/36. Für die Summe 7 gibt es 6 Paare, also 6/36. Für die Summe 8 gibt es 5 Paare, also 5/36. Für die Summe 9 gibt es 4 Paare, also 4/36. Für die Summe 10 gibt es 3 Paare, also 3/36. Für die Summe 11 gibt es 2 Paare, also 2/36. Für die Summe 12 gibt es 1 Paar, also 1/36.

Die Anzahl steigt von 1 auf 6 und fällt dann in umgekehrter Reihenfolge wieder ab. Das Muster zeigt, wie viele Zahlenpaare sich zu jeder Summe kombinieren lassen. Für die 7 sind es die Paare (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) und (6, 1).

Was die Brüche aussagen

Der genaue Bruch für die 7 lautet 6/36 und lässt sich zu 1/6 kürzen. Für 2 und 12 beträgt die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/36, für 6 und 8 jeweils 5/36. Das sind exakte Anteile, keine Garantie dafür, was bei einer kurzen Würfelserie herauskommt.

Eine sinnvolle Aktivität für den Unterricht oder eine Gruppe: Sagt voraus, welche Summe am häufigsten fällt, würfelt wiederholt mit zwei Würfeln und vergleicht die Ergebnisse mit den Anzahlen der passenden Paare. Bei wenigen Würfen kann das Ergebnis unausgewogen wirken: Der Zufall muss die theoretischen Anteile nicht in jedem kurzen Versuch exakt wiedergeben. Die Anzahl beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wurfs unter der Annahme, dass beide Würfel fair sind. Sie garantiert keine bestimmte Abfolge oder ein bestimmtes Ergebnis.

Mit Würfeln das Muster erkunden

Das Tool Würfeln von SpinPickPlay enthält eine Voreinstellung für 2W6. Nutze sie, um mit einem Wurf zwei sechsseitige Würfel zu simulieren, und sieh dir die Ergebnisse der einzelnen Würfel sowie die Summe an. Im Verlauf kannst du bei einer Vorführung frühere Würfe nachschlagen. So lässt sich der Unterschied zwischen den einzelnen Würfeln und ihrer Summe anschaulich zeigen, ohne die Wahrscheinlichkeitsübersicht zu verändern.

Für eine praktische Unterrichtseinheit bittest du die Schülerinnen und Schüler zuerst, die Paare für eine ausgewählte Summe aufzuschreiben. Nutze anschließend die Voreinstellung für 2W6 für mehrere Würfe und führe für jede Summe eine eigene Strichliste. Vergleicht die Strichliste mit den theoretischen Anzahlen und erinnert die Gruppe daran, dass beobachtete Ergebnisse in einer kleinen Stichprobe vom erwarteten Muster abweichen können. Das Tool liefert Würfe und Ergebnisse; die Erklärung anhand der gezählten Paare ergibt sich aus der obigen Rechnung.

Wahrscheinlichkeit für faire Spielregeln nutzen

Behandle bei einem Brettspiel oder einer Herausforderung im Unterricht nicht jede Summe als gleich wahrscheinlich, wenn du festlegst, welche Ergebnisse Belohnungen, Züge oder Ereignisse auslösen. Bei fairen Würfeln löst die 7 pro Wurf häufiger ein Ereignis aus als die 2. Das ist nützlich, wenn ein Ereignis oft eintreten soll, eignet sich aber vielleicht nicht für ein seltenes oder besonders folgenreiches Ereignis.

Eine einfache Prüfung für die Spielgestaltung: Schreib die auslösenden Summen auf, zähle die passenden Paare für jede Summe und addiere die Anzahlen. Die Summen 6, 7 und 8 ergeben zusammen beispielsweise 5, 6 und 5 Paare von insgesamt 36 möglichen Paaren. Eine Regel, die durch eine dieser Summen ausgelöst wird, gilt somit für 16 der 36 gleich wahrscheinlichen Paare. Zähle bei Regeln mit mehreren möglichen Ergebnissen jedes Paar nur einmal.

Häufige Zählfehler

Ein häufiger Fehler ist, nur die Summen von 2 bis 12 zu zählen und anzunehmen, sie seien alle gleich wahrscheinlich. Es gibt 11 mögliche Summen, aber nicht gleich viele zugrunde liegende Paare. Ein weiterer Fehler ist, vertauschte Paare zusammenzufassen. Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind (1, 6) und (6, 1) verschiedene Ergebnisse, auch wenn beide die Summe 7 ergeben.

Behalte außerdem das Modell im Blick: Diese Verteilung gilt für zwei faire sechsseitige Würfel. Sie lässt sich nicht unverändert auf Würfel mit einer anderen Seitenzahl oder auf eine andere Anzahl von Würfeln übertragen. Wenn du das Konzept vermittelst, wird das Muster aus Anstieg und Abfall verständlicher, wenn du die Paare für eine kleine Summe, für 7 und für eine große Summe zeigst.

Das Beispiel mit zwei Würfeln ausprobieren

Nutze die Voreinstellung für 2W6 bei Würfeln, um dir jeden Würfel und die Summe anzeigen zu lassen, und vergleiche einige Würfe mit den genauen Anzahlen der passenden Paare. Ob du eine Unterrichtseinheit vorbereitest oder eine Spielregel überprüfst: Beginne mit den Kombinationen, aus denen sich die Summe ergibt, und erkunde sie mit dem Tool.